题目内容

3.已知点F(0,$\frac{1}{4}$),动点P在直线l1:y=-$\frac{1}{4}$上,线段PF的垂直平分线与直线l1的过点P的垂线交于点M.
(1)求M点轨迹C的方程;
(2)过点E(a,-2)(a>0)作轨迹C的切线,切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),且以点E为圆心的圆E与直线AB相切,问圆E的半径是否存在最小值,若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.

分析 (1)由题意,M到F的距离等于直线l1的距离,可得M点轨迹是以点F(0,$\frac{1}{4}$)为焦点,直线l1:y=-$\frac{1}{4}$为准线的抛物线,即可求M点轨迹C的方程;
(2)求出y=x2的导数,通过直线EA与曲线C相切,利用斜率相等,推出x1,x2为方程x2-2ax-2=0两个根,可得2a,x1•x2=-2,求出AB的斜率,AB的方程,利用点E到直线AB的距离即为圆E的半径,求出r的表达式,利用换元法与基本不等式,求出r的最小值.

解答 解:(1)由题意,M到F的距离等于直线l1的距离,
∴M点轨迹是以点F(0,$\frac{1}{4}$)为焦点,直线l1:y=-$\frac{1}{4}$为准线的抛物线,
∴M点轨迹C的方程为x2=y;
(2)由y=x2可得,y′=2x.∵直线EA与曲线C相切,且过点E(a,-2),
∴$2{x}_{1}=\frac{{{x}_{1}}^{2}+2}{{x}_{1}-a}$,即x12-2ax1-2=0,同理x22-2ax2-2=0,
∴x1,x2为方程x2-2ax-2=0两个根,
因此x1+x2=2a,x1•x2=-2,
则直线AB的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=x1+x2=2a.
∴直线AB的方程为:y-y1=(x1+x2)(x-x1),
又y1=x12,∴y-x12=(x1+x2)x-x12-x1x2,即2ax-y+2=0.
∵点E到直线AB的距离即为圆E的半径,即r=$\frac{|2{a}^{2}+4|}{\sqrt{4{a}^{2}+1}}$,
设4a2+1=t,t≥1,则r2=$\frac{\frac{(t+7)^{2}}{4}}{t}$=$\frac{1}{4}$×(t+$\frac{49}{t}$+14)≥7,
当且仅当t=7时,等号成立,即圆E的半径最小值为$\sqrt{7}$.

点评 本题是中档题,考查抛物线的定义与方程,考查直线与圆的位置关系,函数的导数的性质,基本不等式,考查分析问题解决问题的能力,转化思想,换元法.

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