题目内容
【题目】函数满足,且、时,成立,若对恒成立.
(1)判断的单调性和对称性;
(2)求的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)由可得出函数的图象关于直线对称,然后分和两种情况讨论,得出与的大小,可得出该函数在区间上的单调性,再结合对称性,可得出该函数在区间上的单调性;
(2)由,结合(1)中的结论可得出,由此得出(i)或(ii)恒成立,分别求出对应的实数的取值范围,由此可得出实数的取值范围.
(1)由,可得,
所以,函数的对称轴为.
当时,;当时,.
所以,函数在上为增函数,在上为减函数;
(2)由,
可得,
即(i),
或(ii)恒成立.
由(i)得恒成立,
,故恒成立,无解.
由(ii)得恒成立,
可得,即,解得.
综上所述,实数的取值范围是.
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