题目内容
【题目】已知椭圆的右焦点为
,过
的直线
与
交于
,
两点,点
的坐标为
.当
轴时,
的面积为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线、
的斜率分别为
、
,证明:
.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)由已知条件得b2=a2﹣1,利用通径公式得出|AB|的表达式,再由△ABM的面积得出有关a的方程,求出a的值,可得出椭圆C的标准方程;
(2)对直线l与x轴垂直、与y轴垂直以及与斜率存在且不为零三种情况讨论.在前两种情况下可直接进行验证;在第三种情况下,设直线l的方程为y=k(x﹣1)(k≠0),将直线l的方程与椭圆方程联立,列出韦达定理,利用斜率公式并代入韦达定理,通过化简计算得出结论成立.
(1)依题意得,即
,
所以当时,解得
,当
轴时,
,
因为,所以
,解得
,
所以椭圆的标准方程为
.
(2)当与
轴重合时,
,满足条件;当
与
轴垂直时,满足条件,
当与
轴不重合且不垂直时,设
为
,
,
,
把代入
,得
,
则,
,
因为
,
而,
所以.
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