Question

【题目】已知椭圆的上、下焦点分别为，上焦点到直线的距离为3，椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）椭圆，设过点斜率存在且不为0的直线交椭圆于两点，试问轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)见解析.

【解析】分析：（1）根据已知列方程组，解方程组即得椭圆的方程. (2)先假设存在，再化简已知得到，所以存在.

详解：（1）由已知椭圆方程为，设椭圆的焦点，

由到直线的距离为3，得，

又椭圆的离心率，所以，又，

求得，.

椭圆方程为.

（2）存在.理由如下：由（1）得椭圆，设直线的方程为，联立，消去并整理得.

.

设，，则，.

假设存在点满足条件，由于，所以平分.

易知直线与直线的倾斜角互补，∴.

即，即.（*）

将，代入（*）并整理得，

∴，整理得，即，

∴当时，无论取何值均成立. ∴存在点使得.