题目内容
【题目】已知函数,
(Ⅰ)若,且
是函数的一个极值,求函数
的最小值;
(Ⅱ)若,求证:
,
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析.
【解析】分析:(I)由函数的解析式可得.结合
,可得
, 利用导函数研究函数的单调性可得
在
上单调递减,
在
上单调递增,函数
的最小值为
.
(II )若,则
,
,
由在
上单调递增,分类讨论:
①当在
上单调递增时,
;
②当在
上单调递减时,
;
③当在
上先减后增时,
,
,
,
综上①②③得:,
.
详解:(I),定义域为
,
.
由题意知,即
,解得
,
所以,
,
又、
、
(
)在
上单调递增,
可知在
上单调递增,又
,
所以当时,
;当
时,
.
得在
上单调递减,
在
上单调递增,
所以函数的最小值为
.
(II )若,得
,
由在
上单调递增,可知
在
上的单调性有如下三种情形:
①当在
上单调递增时,
可知,即
,即
,解得
,
,令
,则
,
所以单调递增,
,所以
;
②当在
上单调递减时,
可知,即
,即
,解得
,
得,所以
;
[或:令,则
,
所以单调递减,
,所以
;]
③当在
上先减后增时,得
在
上先负后正,
所以,
,即
,取对数得
,
可知
,
所以;
综上①②③得:,
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度
有关,现收集了该种药用昆虫的
组观测数据如下表:
温度 | ||||||
产卵数 |
经计算得: ,
,
,
,
,线性回归模型的残差平方和
,
,其中
,
分别为观测数据中的温差和产卵数,
.
(1)若用线性回归方程,求关于
的回归方程
(精确到
);
(2)若用非线性回归模型求得关于
回归方程为
,且相关指数
.
(i)试与(1)中的回归模型相比,用说明哪种模型的拟合效果更好.
(ii)用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数(结果取整数).
附:一组数据,
,…,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计为
,
;相关指数
【题目】为了解中学生对交通安全知识的掌握情况,从农村中学和城镇中学各选取100名同学进行交通安全知识竞赛.下图1和图2分别是对农村中学和城镇中学参加竞赛的学生成绩按,
,
,
分组,得到的频率分布直方图.
(Ⅰ)分别估算参加这次知识竞赛的农村中学和城镇中学的平均成绩;
(Ⅱ)完成下面列联表,并回答是否有
的把握认为“农村中学和城镇中学的学生对交通安全知识的掌握情况有显著差异”?
成绩小于60分人数 | 成绩不小于60分人数 | 合计 | |
农村中学 | |||
城镇中学 | |||
合计 |
附:
临界值表:
0.10 | 0.05 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |