题目内容
【题目】对于函数,若关系式
中变量
是变量
的函数,则称函数
为可变换函数.例如:对于函数
,若
,则
,所以变量
是变量
的函数,所以
是可变换函数.
(1)求证:反比例函数不是可变换函数;
(2)试判断函数是否是可变换函数并说明理由;
(3)若函数为可变换函数,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】分析:(1)利用反证法,假设是可变换函数,
,利用关变量
的一元二次方程无解但导出矛盾,从而可得结论;(2)利用
必须有交点,而
连续且单调递减,值域为
,
连续且单调递增,值域为
,进而可得结论;. (3)
,则
恒大于
,即无交点,不满足题意;若
,则
必定有交点,即方程
有解,从而可得结果.
详解:(1)假设是可变换函数,则
,
因为变量是任意的,故当
时,此时有关变量
的一元二次方程无解,
则与假设矛盾,故原结论正确,得证;
(2)若是可变换函数,则
,
则有关的两个函数:
必须有交点,而
连续且单调递减,值域为
,
连续且单调递增,值域为
,所以这两个函数
与
必定有交点,
即:变量是变量
的函数,所以
是可变换函数;
(3)函数为可变换函数,则
,
若,则
恒大于
,即无交点,不满足题意;
若,则
必定有交点,即方程
有解,从而满足题意.
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【题目】已知函数y=a+bx与,若对于任意一点
,过点
作与X轴垂直的直线,交函数y=a+bx的图象于点
,交函数
的图象于点
,定义:
,若
则用函数y=a+bx来拟合Y与X之间的关系更合适,否则用函数
来拟合Y与X之间的关系
(1)给定一组变量P1(1,4),P2(2,5),p3(3,6),p4(4,5.5),p5(5,5.6),p6(6,5.8),对于函数与函数
,试利用定义求Q1,Q2的值,并判断哪一个更适合作为点PI(xi,yi)(i=1,2,3…6)中的Y与X之间的拟合函数;
(2)若一组变量的散点图符合图象,试利用下表中的有关数据与公式求y对x的回归方程, 并预测当
时,
的值为多少.
表中的
(附:对于一组数据,其回归直线方程
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
)