题目内容
2.设函数f(x)=ex-x+3,{an}是公差为1且各项均为正数的等差数列.若f(a1)+f(a2)+f(a3)=$\frac{{{e^5}-{e^2}}}{e-1}$.其中e是自然对数的底数,则$\frac{{f({a_1})+f({a_3})}}{{f({a_2})}}$的值为( )A. | $\frac{{{e^2}+1}}{e}$ | B. | $\frac{{{e^2}+3}}{e+1}$ | C. | $\frac{{{e^2}+5}}{e+2}$ | D. | $\frac{{{e^2}+e+2}}{e+1}$ |
分析 {an}是公差为1且各项均为正数的等差数列,设a2=a>1,a1=a-1,a3=a+1,根据f(a1)+f(a2)+f(a3)=$\frac{{{e^5}-{e^2}}}{e-1}$求出a的值,即可求出$\frac{{f({a_1})+f({a_3})}}{{f({a_2})}}$的值..
解答 解:{an}是公差为1且各项均为正数的等差数列,
∴设a2=a>1,a1=a-1,a3=a+1,
∵f(a1)+f(a2)+f(a3)=$\frac{{{e^5}-{e^2}}}{e-1}$,
∴ea-1-(a-1)+3+ea-a+3+ea+1-(a+1)+3=ea-1+ea+ea+1-3a+9=$\frac{{{e^5}-{e^2}}}{e-1}$,
∴ea+2-ea-1+(9-3a)e+3a-9=e5-e2,
∴a=3,
∴f(a1)+f(a3)=f(2)+f(4)=e2-2+3+e4-4+3=e4+e2,
f(a2)=f(3)=e3,
∴$\frac{{f({a_1})+f({a_3})}}{{f({a_2})}}$=$\frac{{e}^{4}+{e}^{2}}{{e}^{3}}$=$\frac{{e}^{2}+1}{e}$.
故选:A.
点评 本题考查等差数列,函数值的问题,关键是求出a的值,属于中档题.
练习册系列答案
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