Question

13．已知函数f（x）=$\frac{a}{x}$+lnx，其中a为实常数．
（Ⅰ）若a=2，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）设命题p：?x∈[1，+∞），f（x）＜x²，若p为真命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a=2代入，利用导数法分析函数的单调性，进而求出函数的最值，可得函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若命题p：?x∈[1，+∞），f（x）＜x²为真命题，则a＜x³-xlnx恒成立，构造函数g（x）=x³-xlnx，利用导数法，求出函数的最小值，可得a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）若a=2，则f（x）=$\frac{2}{x}$+lnx，
则f′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-2}{{x}^{2}}$，
当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，
故当x=2时，函数f（x）取最小值1+ln2，无最大值，
故函数f（x）的值域为[1+ln2，+∞），
若命题p：?x∈[1，+∞），f（x）＜x²，为真命题，
即x∈[1，+∞），f（x）＜x²恒成立，
即$\frac{a}{x}$+lnx＜x²恒成立，
即a＜x³-xlnx恒成立，
设g（x）=x³-xlnx，则g′（x）=3x²-lnx-1，
g″（x）=6x-$\frac{1}{x}$，
当x∈[1，+∞）时，g″（x）＞0恒成立，g′（x）为增函数，
即g′（x）≥g′（1）=2＞0恒成立，g（x）为增函数，
即g（x）≥g（1）=1，
则a＜1．
即a的取值范围为（-∞，1）

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，导数法求函数的最值，恒成立问题，难度中档．