Question

【题目】已知函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8在x=1及x=2处取得极值．
（1）求a、b的值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8，

∴f′（x）=6x2+6ax+3b，

∵f（x）在x=1及x=2处取得极值，

∴ ，

解得a=﹣3，b=4

（2）解：∵a=﹣3，b=4，

∴f′（x）=6x2﹣18x+12，

由f′（x）=6x2﹣18x+12＞0，得x＞2，或x＜1；

由f′（x）=6x2﹣18x+12＜0，得1＜x＜2．

∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），f（x）的单调减区间为（1，2）

【解析】（1）由函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8，知f′（x）=6x2+6ax+3b，再由f（x）在x=1及x=2处取得极值，能求出a、b的值．（2）由（1）知f′（x）=6x2﹣18x+12，由f′（x）=6x2﹣18x+12＞0，得x＞2，或x＜1；由f′（x）=6x2﹣18x+12＜0，得1＜x＜2．由此能求出f（x）的单调区间．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；极值反映的是函数在某一点附近的大小情况才能得出正确答案．