Question

5．已知六边形ABCDEF为正六边形，且$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{b}$，分别用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{DE}$、$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{EF}$、$\overrightarrow{FA}$、$\overrightarrow{CD}$、$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{CE}$．

Answer 1

分析 建立适当的坐标系，设出点A、B的坐标，表示出D、E、CF的坐标，
利用向量的坐标表示以及向量相等，求出$\overrightarrow{DE}$、$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{EF}$、$\overrightarrow{FA}$、$\overrightarrow{CD}$、$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{CE}$．

解答 解：如图所示，
设B（2，0），则D（2，2$\sqrt{3}$），E（0，2$\sqrt{3}$），C（3，$\sqrt{3}$），F（-1，$\sqrt{3}$），A（0，0）；
∵$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$=（3，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{b}$=（0，2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DE}$=（-2，0）；
设$\overrightarrow{DE}$=m$\overrightarrow{AC}$+n$\overrightarrow{BD}$，
则（-2，0）=（3m，$\sqrt{3}$m+2$\sqrt{3}$n），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2=3m}\\{0=\sqrt{3}m+2\sqrt{3}n}\end{array}\right.$，
解得m=-$\frac{2}{3}$，n=$\frac{1}{3}$，
∴$\overrightarrow{DE}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$；
同理，设$\overrightarrow{AD}$=p$\overrightarrow{AC}$+q$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{AD}$=（2，2$\sqrt{3}$），
则（2，2$\sqrt{3}$）=（3p，$\sqrt{3}$p+2$\sqrt{3}$q），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=3p}\\{2\sqrt{3}=\sqrt{3}p+2\sqrt{3}q}\end{array}\right.$
解得p=$\frac{2}{3}$，q=$\frac{2}{3}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$；
同理$\overrightarrow{BC}$=（1，$\sqrt{3}$），设$\overrightarrow{BC}$=x$\overrightarrow{AC}$+y$\overrightarrow{BD}$，
即（1，$\sqrt{3}$）=（3x，$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$y），
则$\left\{\begin{array}{l}{1=3x}\\{\sqrt{3}=\sqrt{3}x+2\sqrt{3}y}\end{array}\right.$，
解得x=$\frac{1}{3}$，y=$\frac{1}{3}$，
∴$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$；
同理，$\overrightarrow{EF}$=-$\overrightarrow{BC}$=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{FA}$=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{CD}$=-$\overrightarrow{FA}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{AB}$=-$\overrightarrow{DE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$．

点评 本题考查了平面向量的几何意义以及平面向量的坐标表示的应用问题，是基础题目．