Question

9．已知四棱锥的所有顶点都在球O的球面上，四边形ABCD是边长为1的正方形，SC为球O的直径且SC=4，求四棱锥的面积．

Answer 1

分析 根据题意得出空间几何体的直观图，利用圆的几何知识得出Rt△SBC，Rt△SDC，Rt△SAC，
利用边长根据勾股定理得出△ABS，△ADS，为直角三角形，运用直角三角形的面积公式求解即可．

解答 解：根据题意得出：

AC=$\sqrt{2}$，SC=4，AB=BC=DC=DA=1
根据圆的几何知识得出Rt△SBC，Rt△SDC，Rt△SAC，
∴可知SD=SB=$\sqrt{15}$，SA=$\sqrt{14}$，
根据勾股定理得出△ABS，△ADS，为直角三角形．
∵△ABS与△ADS，面积相等为$\frac{1}{2}×$$\sqrt{14}$×1=$\frac{\sqrt{14}}{2}$
Rt△SDC，Rt△SAC，面积都为$\frac{1}{2}×$$\sqrt{15}$×1=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
四边形ABCD的面积为1×1=1，
∴四棱锥的表面积为：1$+\sqrt{14}$$+\sqrt{15}$

点评 本题考查了球的内接几何体的问题，充分利用圆的知识得出直线，平面的位置关系，从而利用公式求解即可．