Question

8．求证：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜n（n∈N^*且n＞1）

Answer 1

分析 利用数学归纳法即可证明．

解答 证明：利用数学归纳法证明．
（1）当n=2时，左边=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$＜2=右边，此时不等式成立；
（2）假设当n=k≥2时，不等式成立，
则当n=k+1时，左边=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$＜k+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$＜k+$\frac{{2}^{k}}{{2}^{k}}$=k+1=右边，
∴当n=k+1时，不等式成立．
综上可得：?n∈N^*且n＞1，命题成立．

点评 本题考查了利用数学归纳法证明不等式、不等式的放缩，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．