题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)已知点,曲线
在点
处的切线
与直线
交于点
,求
(
为坐标原点)的面积最小时
的值,并求出面积的最小值.
【答案】(1)单调递增(2)时,
的面积有最小值1.
【解析】试题分析:(1)先求导数,再求导函数零点,根据零点分区间讨论导函数符号,即得函数的单调性;(2)先根据导数几何意义得切线斜率,根据点斜式写出切线方程,与
联立得点
,再根据三角形面积公式得
,利用导数研究函数
单调性,即得最小值.
试题解析:解:(Ⅰ)依题意,.
令,故
,令
,解得
,
故在
上单调递减,在
上单调递增,
故,故
,即
,
故函数在
上单调递增.
(Ⅱ)依题意,切线的斜率为
,
由此得切线的方程为
,
令,得
,
所以
,
.
设,
.
则
,
令,得
或
.
,
的变化情况如下表:
所以在
上单调递减,在
上单调递增,
所以,即
时,
的面积有最小值1.
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