题目内容
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，-1），B点在直线y=-3上，M点满足| MB |
| OA |
| MA |
| AB |
| MB |
| BA |
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．
分析：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，-3），A（0，-1）并代入
∥
，
•
=
•
，即可求得M点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设P（x0，y0）为C上的点，求导，写出C在P点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得O点到l距离，然后利用基本不等式求出其最小值．
| MB |
| OA |
| MA |
| AB |
| MB |
| BA |
（Ⅱ）设P（x0，y0）为C上的点，求导，写出C在P点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得O点到l距离，然后利用基本不等式求出其最小值．
解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，-3），A（0，-1）．
所
=（-x，-1-y），
=（0，-3-y），
=（x，-2）．
再由题意可知（
+
）•
=0，即（-x，-4-2y）•（x，-2）=0．
所以曲线C的方程式为y=
x2-2．
（Ⅱ）设P（x0，y0）为曲线C：y=
x2-2上一点，因为y′=
x，所以l的斜率为
x0，
因此直线l的方程为y-y0=
x0（x-x0），即x0x-2y+2y0-x02=0．
则o点到l的距离d=
．又y0=
x02-2，
所以d=
=
(
+
)≥2，
所以x02=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．
所
| MA |
| MB |
| AB |
再由题意可知（
| MA |
| MB |
| AB |
所以曲线C的方程式为y=
| 1 |
| 4 |
（Ⅱ）设P（x0，y0）为曲线C：y=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
因此直线l的方程为y-y0=
| 1 |
| 2 |
则o点到l的距离d=
| |2y0-x02| | ||
|
| 1 |
| 4 |
所以d=
| ||
|
| 1 |
| 2 |
| x02+4 |
| 4 | ||
|
所以x02=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．
点评：此题是个中档题．考查向量与解析几何的交汇点命题及代入法求轨迹方程，以及导数的几何意义和点到直线的距离公式，综合性强，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
练习册系列答案
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