题目内容
7.设函数f(x)=|x|+|x-a|.(Ⅰ)当a=1时,解不等式f(x)≤3;
(Ⅱ)若不等式f(x)>1对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
分析 (Ⅰ)将f(x)写成分段函数的形式,再由分类讨论得到不等式组,解得即可得到所求解集;
((Ⅱ)不等式f(x)>1对任意x∈R恒成立?f(x)min>1,由绝对值不等式的性质,可得最小值,解不等式即可得到所求a的范围.
解答 解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)=|x|+|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{1-2x,x<0}\\{1,0≤x≤1}\\{2x-1,x>1}\end{array}\right.$,
则f(x)≤3?$\left\{\begin{array}{l}{x<0}\\{1-2x≤3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤1}\\{1≤3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x>1}\\{2x-1≤3}\end{array}\right.$,
?-1≤x<0或0≤x≤1或1<x≤2?-1≤x≤2,
所以,所求不等式的解集为[-1,2];
另解:当a=1时,f(x)=|x|+|x-1|,
由绝对值的几何意义知,-1,2对应点到0,1对应点的距离之和为3,
则不等式f(x)≤3的解集为[-1,2].
(Ⅱ)不等式f(x)>1对任意x∈R恒成立?f(x)min>1,
∵|x|+|x-a|≥|x-(x-a)|=|a|,
∴|a|>1,即a>1或a<-1,
所以实数a的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).
点评 本题考查绝对值不等式的解法,考查绝对值不等式的性质的运用,以及不等式恒成立思想的运用,考查运算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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如果y与x之间具有线性相关关系.
(1)求这些数据的线性回归方程;
(2)预测当广告费支出为9百万元时的销售额.
附:线性回归方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$中,$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$,$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$.
x | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
y | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
(1)求这些数据的线性回归方程;
(2)预测当广告费支出为9百万元时的销售额.
附:线性回归方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$中,$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$,$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$.
2.函数y=3+loga(2x+3)的图象必经过定点P的坐标为( )
A. | (-1,3) | B. | (-1,4) | C. | (0,1) | D. | (2,2) |