Question

15．已知函数f（x）=-（x-2m）（x+m+3）（其中m＜-1），g（x）=2^x-2．
（Ⅰ）若命题“log₂g（x）＜1”是真命题，求x的取值范围；
（Ⅱ）设命题p：?x∈（1，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0；命题q：?x∈（-1，0），f（x）•g（x）＜0．若p∧q是真命题，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把g（x）代入log₂g（x）＜1，求解对数不等式和指数不等式得到x的范得答案；
（Ⅱ）由题意知?x∈（1，+∞），g（x）＜0为假命题，则?x∈（1，+∞），f（x）＜0为真命题，然后利用三个二次结合列关于m的不等式组求得m的范围；再由命题q：?x∈（-1，0），f（x）•g（x）＜0，得?x∈（-1，0），（x-2m）（x+m+3）＜0，求出m的范围，结合p∧q是真命题，取交集得m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由log₂g（x）＜1，得log₂（2^x-2）＜1，即0＜2^x-2＜2，解得1＜x＜2．
∴命题“log₂g（x）＜1”是真命题，x的取值范围是1＜x＜2；
（Ⅱ）∵?x∈（1，+∞），g（x）=2^x-2＞0，
∴若命题p：?x∈（1，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0为真命题，则
?x∈（1，+∞），f（x）＜0，即
?x∈（1，+∞），-（x-2m）（x+m+3）＜0，也就是（x-2m）（x+m+3）＞0．
即$\left\{\begin{array}{l}{2m≥-m-3}\\{2m≤1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-m-3≥2m}\\{-m-3≤1}\end{array}\right.$，
∵m＜-1
解得：-4≤m＜-1；
∵?x∈（-1，0），g（x）=2^x-2＞0，
∴命题q：?x∈（-1，0），f（x）•g（x）＜0，即?x∈（-1，0），f（x）＞0．
也就是?x∈（-1，0），（x-2m）（x+m+3）＜0．
即[（-1-2m）（2+m）][（-2m）（m+3）]＜0．
解得：-3＜m＜-2或-$\frac{1}{2}$＜m＜0．
若p∧q是真命题，则m的取值范围为：-3＜m＜-2．

点评 本题考查命题的真假判断，考查了不等式恒成立问题，训练了利用“三个二次”的结合求解参数的范围，属中档题．