Question

19．设△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知$\frac{a+b}{sin（A+B）}$=$\frac{a-c}{sinA-sinB}$
（Ⅰ）求角B
（Ⅱ）若b=3，cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简已知等式可得a²-b²=ac-c²，利用余弦定理可求cosB，又结合范围0＜B＜π，即可求得B的值；
（Ⅱ）由已知及同角三角函数关系式可求sinA，结合正弦定理可求a，求得sinC后，即可利用三角形面积公式求解．

解答 解：（Ⅰ）因为 $\frac{a+b}{sin（A+B）}=\frac{a-c}{sinA-sinB}$，所以$\frac{a+b}{c}=\frac{a-c}{a-b}$，----------------------------（2分）
所以a²-b²=ac-c²，---------------------------------------------------------------------------（3分）
所以$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{ac}{2ac}=\frac{1}{2}$，------------------------------------------------------（5分）
又因为0＜B＜π，所以B=$\frac{π}{3}$．-------------------------------------------------------------------（7分）
（Ⅱ）由b=3，cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-----------------------------------------------------------（8分）
由$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$可得a=2，----------------------------------------------------------------------（9分）
而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}}{6}$---------------------------（11分）
所以△ABC的面积$S=\frac{1}{2}absinC$=$\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{2}$．-----------------------------------------------（14分）

点评 本题主要考查了同角三角函数关系式，两角和的正弦函数公式的应用，考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，熟练掌握公式定理是解题的关键，属于中档题．