题目内容
17.设函数f(x)=|2x-2|+|x+3|(1)解不等式f(x)>6;
(2)若关于x的不等式f(x)≥|2a-1|恒成立,试求a的取值范围.
分析 (1)把原不等式去掉绝对值,转化为与之等价的三个不等式组,分别求得每个不等式组的解集,再取并集,即得所求.
(2)问题等价于f(x)min≥|2a-1|,由(1)求得f(x)min=4,可得4≥|2a-1|,由此求得a的范围.
解答 解:(1)函数f(x)=|2x-2|+|x+3|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x-1,x≤-3}\\{-x+5,-3<x<1}\\{3x+1,x≥1}\end{array}\right.$,
∴原不等式f(x)>6可转化为:$\left\{\begin{array}{l}{x≤-3}\\{-3x-1>6}\end{array}\right.$ ①,或$\left\{\begin{array}{l}{-3<x<1}\\{-x+5>6}\end{array}\right.$ ②,或$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{3x+1>6}\end{array}\right.$ ③.
解①求得x≤-3,解求得-3<x<-1,解②求得x>$\frac{5}{3}$,
故原不等式的解集为{x|x<-1,或x>$\frac{5}{3}$}.
(2)关于x的不等式f(x)≥|2a-1|恒成立,等价于f(x)min≥|2a-1|,
由(1)得f(x)min=4,∴4≥|2a-1|,求得-$\frac{3}{2}$≤a≤$\frac{5}{2}$,
故所求a的取值范围是[-$\frac{3}{2}$,$\frac{5}{2}$].
点评 本题主要考查带有绝对值的函数,绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.
练习册系列答案
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