Question

5．已知函数f（x）=lg（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）若f（x）在（1，+∞）上递增且恒取正值，求a，b满足的关系式．

Answer 1

分析 （1）要求a^x-b^x＞0，转换为（$\frac{a}{b}$）^x＞1，利用指数函数性质求解；
（2）由增函数可得f（x）＞f（1），只需f（1）=lg（a-b）≥0即可．

解答 解：（1）∵a^x-b^x＞0，
∴（$\frac{a}{b}$）^x＞1，
∵a＞1＞b＞0
∴x＞0，
即f（x）的定义域为（0，+∞）；
（2）因为f（x）是增函数，所以当x∈（1，+∞）时，f（x）＞f（1），
∴只需f（1）=lg（a-b）≥0，
∴a-b≥1．

点评 考查了对数函数定义域求法和利用单调性求解恒成立问题，注意f（1）可以等于零．