题目内容
【题目】已知数列{an}中，a1=3，a2=5，{an}的前n项和Sn ， 且满足Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1（n≥3）．
（1）试求数列{an}的通项公式；
（2）令bn= 
，Tn是数列{bn}的前n项和，证明：Tn＜ 
；
（3）证明：对任意给定的m∈（0， ），均存在n0∈N+ ， 使得当n≥n0时，（2）中的Tn＞m恒成立．
【答案】
（1）解：由Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1（n≥3），得 
，
即 
，移项得 
，
∴ 
， 
，…， 
，
这个n﹣2等式叠加可得：
an﹣a2=22+23+…+2n﹣1= 
=2n﹣4，
又a2=5，
∴ 
，n≥3，经验证a1=3，a2=5也适合该式，
∴ ，n∈N*
（2）证明：（2）由（1）知 
= 
= 
（ 
﹣ 
），
∴bn= 
= 
（ ﹣ ），
∴数列{bn}的前n项和：
Tn= [（ 
）+（ 
）+…+（ ﹣ ）]
= （ 
）= 
＜ 
．
∴Tn＜ ．
（3）证明：由（2）可知Tn= （ ）＜ ．
若Tn＞m，则得 
，化简得 
，
∵m∈（0， ），∴1﹣6m＞0，
∴ 
，
当 
，即0＜m＜ 
时，取n0=1即可，
当 
，即0＜m＜ 时，取n0=1即可，
当 
，即 
时，
则记 
的整数部分为S，取n0=s+1即可，
综上可知，对任意给定的m∈（0， ），均存在n0∈N+，使得当n≥n0时，（2）中的Tn＞m恒成立
【解析】（1）把数列递推式变形得到Sn﹣Sn﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2+2n﹣1（n≥3），结合an=sn﹣sn﹣1得到an﹣an﹣1=2n﹣1（n≥2），由累加法得到数列的通项公式；（2）把数列{an}的通项公式代入bn= ，化简后利用裂项相消法求数列{bn}的前n项和Tn ， 由此能证明Tn＜ ；（3）把要证的Tn＞m转化为n＞ ．然后分 ＜1和 ≥1，求解出n0说明要证的结论成立．
