题目内容
【题目】已知f(x)=ex , g(x)=lnx,若f(t)=g(s),则当s﹣t取得最小值时,f(t)所在区间是( )
A.(ln2,1)
B.( ,ln2)
C.( , )
D.( , )
【答案】B
【解析】解:令f(t)=g(s)=a,即et=lns=a>0, ∴t=lns,s=ea ,
∴s﹣t=ea﹣lna,(a>0),
令h(a)=ea﹣ ,
则h′(a)=ea﹣ ,
∵y=ea递增,y= 递减,
故存在唯一a=a0使得h′(a)=0,
0<a<a0时,ea< ,h′(a)<0,
a>a0时,ea> ,h′(a)>0,
∴h(a)min=h(a0),
即s﹣t取最小值是时,f(t)=a=a0 ,
由零点存在定理验证 ﹣ =0的根的范围:
a0= 时, ﹣ <0,
a0=ln2时, ﹣ >0,
故a0∈( ,ln2),
故选:B.
【考点精析】关于本题考查的指数函数的图像与性质,需要了解a0=1, 即x=0时,y=1,图象都经过(0,1)点;ax=a,即x=1时,y等于底数a;在0<a<1时:x<0时,ax>1,x>0时,0<ax<1;在a>1时:x<0时,0<ax<1,x>0时,ax>1才能得出正确答案.
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