题目内容

5.给出以下4个命题;
①曲线y=$\frac{1+cosx}{sinx}$在点($\frac{π}{2}$,1)处的切线与直线x+y+1=0平行;
②若函数f(x)=x+asinx在R上单凋递增,则实数a的取值范围为-1≤a≤1;
③若f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x),…,fn(x)=f′n-1,n∈N*,则f2016(x)=sinx;
④函数f(x)=sin(πcosx)在区间[0,2π]上的零点个数是4.
其中正确的命题是①③(写出正确命题的序号)

分析 ①y′=$\frac{-1-cosx}{si{n}^{2}x}$,可得${y}^{′}{|}_{x=\frac{π}{2}}$=-1.可得曲线在点($\frac{π}{2}$,1)处的切线方程为:y-1=-$(x-\frac{π}{2})$,化简利用两条平行线之间的关系即可得出;
②若函数f(x)=x+asinx在R上单凋递增,可得f′(x)=1+acosx≥0,当x=$kπ+\frac{π}{2}$(k∈Z)时,上式恒成立;当x≠$kπ+\frac{π}{2}$(k∈Z)时,上式化为$a≥-\frac{1}{cosx}$或$a≤-\frac{1}{cosx}$,即可得出范围;
③利用导数的运算法则可得:f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x)=cosx,f2(x)=-sinx,f3(x)=-cosx,f4(x)=sinx=f0(x),…,可得fn+4(x)=fn(x)即可判断出;
④由于x∈[0,2π],可得x=0,$\frac{π}{2}$,π,$\frac{3π}{2}$,2π时,则f(x)=sin(πcosx)=0,因此f(x)有5个零点,即可判断出正误.

解答 解:①曲线y=$\frac{1+cosx}{sinx}$,y′=$\frac{-sinx-(1+cosx)cosx}{si{n}^{2}x}$=$\frac{-1-cosx}{si{n}^{2}x}$,∴${y}^{′}{|}_{x=\frac{π}{2}}$=$\frac{-1-cos\frac{π}{2}}{si{n}^{2}\frac{π}{2}}$=$\frac{-1}{1}$=-1.∴曲线在点($\frac{π}{2}$,1)处的切线方程为:y-1=-$(x-\frac{π}{2})$,化为x+y-1-$\frac{π}{2}$=0,因此与直线x+y+1=0平行,正确;
②若函数f(x)=x+asinx在R上单凋递增,∴f′(x)=1+acosx≥0,当x=$kπ+\frac{π}{2}$(k∈Z)时,上式恒成立;当x≠$kπ+\frac{π}{2}$(k∈Z)时,上式化为$a≥-\frac{1}{cosx}$或$a≤-\frac{1}{cosx}$,∴a≥-1或a≤1,因此不正确;
③∵f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x)=cosx,f2(x)=-sinx,f3(x)=-cosx,f4(x)=sinx=f0(x),…,可得fn+4(x)=fn(x),∴f2016(x)=f504×4(x)=f0(x)=sinx,
因此正确;
④∵x∈[0,2π],∴x=0,$\frac{π}{2}$,π,$\frac{3π}{2}$,2π时,πcosx分别等于:π,0,-π,0,π,则f(x)=sin(πcosx)=0,因此f(x)有5个零点,因此不正确.
函数f(x)=sin(πcosx)在区间[0,2π]上的零点个数是5.
综上其中正确的命题是①③.
故答案为:①③.

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性切线函数值、函数零点判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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