Question

13．已知函数f（x）=x²+（x-1）|x-a|．
（1）若a=2，解方程f（x）=1；
（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化方程f（x）=1可化为x²+（x-1）•|x-2|=1，即2x²-3x+2=1（x≥2）或3x-2=1（x＜2），从而求解；
（2）f（x）=x²+（x-1）•|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}（a+1）x-a，x＜a\\ 2{x}^{2}-（a+1）x+a，x≥a\end{array}\right.$，则 $\left\{\begin{array}{l}a+1＞0\\ \frac{a+1}{4}≤a\\（a+1）a-a≤2{a}^{2}-（a+1）a+a\end{array}\right.$，从而求a；

解答 解：（1）若a=2，则方程f（x）=1可化为x²+（x-1）•|x-2|=1，
即2x²-3x+2=1（x≥2）或3x-2=1（x＜2），
故x=1，或x=$\frac{1}{2}$（舍去）；
（2）∵f（x）=x²+（x-1）•|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}（a+1）x-a，x＜a\\ 2{x}^{2}-（a+1）x+a，x≥a\end{array}\right.$，
则若使函数f（x）在R上单调递增，
则 $\left\{\begin{array}{l}a+1＞0\\ \frac{a+1}{4}≤a\\（a+1）a-a≤2{a}^{2}-（a+1）a+a\end{array}\right.$，
则a≥$\frac{1}{3}$；

点评 本题考查了函数导数的综合应用，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题