(2007•杨浦区二模)(理)设斜率为k1的直线L交椭圆C:x22+y2=1于A.B两点.点M为弦AB的中点.直线OM的斜率为k2(其中O为坐标原点.假设k1.k2都存在)．(1)求k1?k2的值．(2)把上述椭圆C一般化为x2a2+y2b2=1.其它条件不变.试猜想k1与k2关系．请你给出在双曲线x2a2-y2b2=1中相类似的结论.并证明你的结论．中的探� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2007•杨浦区二模）（理）设斜率为k₁的直线L交椭圆C：

+y2=1于A、B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k₂（其中O为坐标原点，假设k₁、k₂都存在）．
（1）求k₁?k₂的值．
（2）把上述椭圆C一般化为

=1
（a＞b＞0），其它条件不变，试猜想k₁与k₂关系（不需要证明）．请你给出在双曲线

=1（a＞0，b＞0）中相类似的结论，并证明你的结论．
（3）分析（2）中的探究结果，并作出进一步概括，使上述结果都是你所概括命题的特例．
如果概括后的命题中的直线L过原点，P为概括后命题中曲线上一动点，借助直线L及动点P，请你提出一个有意义的数学问题，并予以解决．

分析：（1）设直线方程为y=k₁x+b，代入椭圆方程，根据方程的根与系数关系求弦中点M的坐标为(-

2bk1

1+2k12

，

1+2k12

)，代入可得k2=-

2k1

，从而可求
（法二）（利用点差法）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点M（x₀，y₀），由

x12+y12=1与

x22+y22=1作差得 -

(y2-y1)(y2+y1)

(x2-x1)(x2+x1)

可求
（2）已知斜率为K₁的直线L交双曲线

=1（a＞0，b＞0）于A，B两点，点M 为弦AB的中点，直线OM的斜率为k₂（其中O为坐标原点，假设K₁、k₂都存在）．
则k₁，k₂?的值为

（解一）设直线方程为y=k₁x+d，代入

=1（（a＞0，b＞0）方程并整，根据方程的根与系数的关系代入可求k1k2=

（解二）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点中点M（x₀，y₀）由点A，B在双曲线上，则利用点差法可求
（3）对（2）的概括：设斜率为k₁的直线L交二次曲线C：mx²+ny²=1（mn≠0）于A，B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k₂（其中O为坐标原点，假设k₁，k₂、都存在），则k1k2=-

．

解答：（解一）：（1）设直线方程为y=k₁x+b，代入椭圆方程并整理得：（1+2k₁²）x²+4k₁bx+2b²-2=0，（2分）
x1+x2=-

4k1b

1+2k2

，又中点M在直线上，所以

y1+y2

=k1•

x1+x2

)+b
从而可得弦中点M的坐标为(-

2bk1

1+2k12

，

1+2k12

)，k2=-

2k1

，所以k1k2=-

．（4分）
（解二）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点M（x₀，y₀）则x0=

x1+x2

，y0=

y1+y2

K2=

y1+y2

x1+x2

，k1=

y2-y1

x2-x1

（2分）
又

x12+y12=1与

x22+y22=1作差得 -

(y2-y1)(y2+y1)

(x2-x1)(x2+x1)

所以 K1K2=-

（4分）
（2）对于椭圆，K1K2=-

（6分）
已知斜率为K₁的直线L交双曲线

=1（a＞0，b＞0）于A，B两点，点M 为弦AB的中点，直线OM的斜率为k₂（其中O为坐标原点，假设K₁、k₂都存在）．
则k₁，k₂?的值为

．（8分）
（解一）设直线方程为y=k₁x+d，代入

=1（（a＞0，b＞0）方程并整理得：（b²-a²k₁²）x²-2k₁a²dx-（ad）²-（ab）²=0

(y1+y2)=

db2

b2-a2k12

，
所以K2=

y1+y2

x1+x2

k1a2

，k1=

y2-y1

x2-x1

（2分），即k1k2=

（10分）
（解二）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点中点M（x₀，y₀）
则x0=

x1+x2

，y0=

y1+y2

，K2=

y1+y2

x1+x2

，k1=

y2-y1

x2-x1

（2分）
又因为点A，B在双曲线上，则

x12

y12

=1与

x22

y22

=1作差得

(y2-y1)(y2+y1)

(x2-x1)(x2+x1)

=k₁k₂ 即k1k2=

（10分）
（3）对（2）的概括：设斜率为k₁的直线L交二次曲线C：mx²+ny²=1（mn≠0）于A，B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k₂（其中O为坐标原点，假设k₁，k₂、都存在），则k1k2=-

．（12分）
提出问题与解决问题满分分别为（3分），提出意义不大的问题不得分，解决问题的分值不得超过提出问题的分值．
提出的问题例如：直线L过原点，P为二次曲线线mx²+ny²=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点，当P异于A，B两点时，如果直线PA，PB的斜率都存在，则它们斜率的积为与点P无关的定值．（15分）
解法1：设直线方程为y=kx，A，B两点坐标分别为（x₁，y₁）、（-x₁，-y₁），则y₁=kx₁
把y=kx代入mx²+ny²=1得（m+nk²）x²=1，
K_PA•K_PB=

(y0-y1)(y0+y1)

(x0-x1)(x0+x1)

y02-y12

x02-x12

，
所以K_PA•K_PB=

1-mx02

m+nk2

x02-

m+nk2

m-m(m+nk2)x02

n(m+nk2)x02-n

（18分）
提出的问题的例如：直线L：y=x，P为二次曲线mx²+ny²=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点．试问使∠APB=30°的点P是否存在？（13分）
问题例如：1）直线L过原点，P为二次曲线线mx²+ny²=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点，求PA+PB的值．
2）直线l过原点，P为二次曲线mx²+ny²=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点，求S_△PAB的最值．

点评：本题主要考查了直线与曲线的相交关系的应用，解题的关键是能够由椭圆的性质归纳推理到一般的曲线方程，及较强的逻辑推理的运算能力