Question

9．在数列{a_n}中，a₁=2，a₂=$\frac{2}{3}$，a_na_n+1+a_na_n-1=2a_n-1a_n+1，则a_n=$\frac{2}{2n-1}$．

Answer 1

分析 通过对a_na_n+1+a_na_n-1=2a_n-1a_n+1整理、变形可知$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$，利用a₁=2、a₂=$\frac{2}{3}$可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为$\frac{1}{2}$、公差为1的等差数列，进而计算可得结论．

解答 解：∵a_na_n+1+a_na_n-1=2a_n-1a_n+1，
∴a_na_n+1-a_n-1a_n+1=a_n-1a_n+1-a_na_n-1，
∴a_n+1（a_n-a_n-1）=a_n-1（a_n+1-a_n），
∴$\frac{{a}_{n}-{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=2，
∴$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$，
又∵$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$=1，$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为$\frac{1}{2}$、公差为1的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+（n-1）=$\frac{2n-1}{2}$，
∴a_n=$\frac{2}{2n-1}$，
故答案为：$\frac{2}{2n-1}$．

点评 本题考查数列的通项公式，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．