Question

19．已知函数f（x）=sinx在区间（$-\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）上有两个不同的零点x₁，x₂，且方程f（x）=a有两个不同的实根x₃，x₄．若把x₁，x₂，x₃，x₄ 从小到大排列恰好构成等差数列，则实数a的值$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可知：x₁=0，x₂=π，且x₃、x₄只能分布在x₁、x₂的中间或两侧，下面分别求解并验证即可的答案．

解答 解：由题意可知：x₁=0，x₂=π，且x₃、x₄只能分布在x₁、x₂的中间或两侧，
若x₃、x₄只能分布在x₁、x₂的中间，则公差d=$\frac{π-0}{3}$=$\frac{π}{3}$，
故x₃、x₄分别为$\frac{π}{3}$、$\frac{2π}{3}$，
此时可求得a=sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或a=sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，成立；
若x₃、x₄只能分布在x₁、x₂的两侧，则公差d=π，
故x₃、x₄分别为-π、2π，不合题意．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题为等差数列的构成问题，涉及分类讨论的思想和函数的零点以及三角函数，属中档题．