题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
3
2
，且过点（
3
，
1
2
）
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（k≠0，m＞0）与椭圆交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程．
（Ⅰ）∵e=
3
2
，∴c=
3
2
a，∴b2=a2-c2=
a2
4
，故所求椭圆为：
x2
a2
+
4y2
a2
=1．
又椭圆过点 （
3
，
1
2
），∴
3
a2
+
1
a2
=1，∴a2=4，b2=1，
∴
x2
4
+y2=1．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为（x0，y0）
将直线y=kx+m与
x2
4
+y2=1 联立得 （1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
∵△=16（4k2+1-m2）＞0，即 4k2+1-m2＞0 ①，
又x0=
x1+x2
2
=
-4km
1+4k2
，y0=
y1+y2
2
=
m
1+4k2
，又点[-1，0]不在椭圆OE上．
依题意有
y0-0
x0-(-1)
=-
1
k
，整理得3km=4k2+1 ②． 由①②可得k2＞
1
5
，
∵m＞0，∴k＞0，∴k＞
5
5
，
设O到直线l的距离为d，
则S△OPQ=
1
2
•d•|PQ|=
1
2
•
m
1+k2
•
1+k2
•
16(4k2+1-m2)
1+4k2
=
2
(4k2+1)(5k2-1)
9k2
=
2
20+
1
k2
-
1
k4
9
．
当
1
k2
=
1
2
时，△OPQ 的面积取最大值1，此时k=
2
，m=
3
2
2
，
∴直线方程为 y=
2
x+
3
2
2
．
练习册系列答案
相关题目
已知B（-1，1）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一点，且点B到椭圆的两个焦点距离之和为4；
（1）求椭圆方程；
（2）设A为椭圆的左顶点，直线AB交y轴于点C，过C作斜率为k的直线l交椭圆于D，E两点，若
S△CBD
S△CAE
=
1
6
，求实数k的值．
已知点B（0，1），A，C为椭圆C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）上的两点，△ABC是以B为直角顶点的直角三角形．
（1）△ABC能否为等腰三角形？若能，这样的三角形有几个？
（2）当a=2时，求线段AC的中垂线l在x轴上截距的取值范围．
已知椭圆G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
6
3
，右焦点为（2
2
，0）．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-
2
，0)，(
2
，0)，离心率是
6
3
，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P，圆心为P．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当T变化时，求y的最大值．
已知椭圆┍的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），点P的坐标为（-a，b）．
（1）若直角坐标平面上的点M、A（0，-b），B（a，0）满足
PM
=
1
2
（
PA
+
PB
），求点M的坐标；
（2）设直线l1：y=k1x+p交椭圆┍于C、D两点，交直线l2：y=k2x于点E．若k1•k2=-
b2
a2
，证明：E为CD的中点；
（3）对于椭圆┍上的点Q（acosθ，bsinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆┍上存在不同的两个交点P1、P2满足
PP1
+
PP2
=
PQ
，写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ的取值范围．
设椭圆M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）经过点P(1，
2
)，其离心率e=
2
2
．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）直线l：y=
2
x+m交椭圆于A、B两点，且△PAB的面积为
2
，求m的值．
过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，抛物线准线与x轴交于C点，若∠CBF=90°，则|AF|-|BF|的值为（　　）
A．
p
2
B．pC．
3p
2
D．2p
已知点A（1，1）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|+|AF2|=4．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）求过A（1，1）与椭圆相切的直线方程；
（III）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．

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