题目内容
【题目】若函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=ex+e﹣x ， 则称f（x）为“e函数”．
（1）试判断f（x）=ex+x3是否为“e函数”，并说明理由；
（2）若f（x）为“e函数”且 
，
（ⅰ）求证：f（x）的零点在 
上；
（ⅱ）求证：对任意a＞0，存在λ＞0，使f（x）＜0在（0，λa）上恒成立．
【答案】
（1）解：∵f（﹣x）+f（x）=e﹣x﹣x3+ex+x3=ex+e﹣x，
∴f（x）为“e函数”
（2）证明：∵f（﹣x）+f（x）=ex+e﹣x①，
②
∴①+②得： 
，∴ 
．
（ⅰ）∵y=ex与 
均为增函数，∴f（x）在（0，+∞）上为赠函数，
又ex＞0，∴f（x）的唯一零点必在（0，+∞）上．
∵f（ 
）= 
﹣2= 
﹣2＜0，f（2）=e2﹣ ＞0，
∴f（x）的唯一零点在（ ，2）上．
（ⅱ）由（ⅰ）知，f（x）的零点x0∈（ ，2），且f（x0）=0，
又f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴f（x）＜0在（0，x0）上恒成立，
∴对任意a＞0，存在λ= 
＞0，使f（x）＜0在（0，λa）上恒成立
【解析】（1）由f（﹣x）+f（x）=ex+e﹣x ， 可判断f（x）=ex+x3是“e函数”；（2）若f（x）为“e函数”且 ，（ⅰ）由于y=ex与 均为增函数，可知f（x）在（0，+∞）上为增函数，通过计算知f（ ）= ﹣2＜0，f（2）=e2﹣ ＞0，利用零点存在定理即可证得：f（x）的零点在 
上；（ⅱ）由（ⅰ）知，f（x）的零点x0∈（ ，2），且f（x0）=0，从而可证：对任意a＞0，存在λ＞0，使f（x）＜0在（0，λa）上恒成立．
【题目】共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态.一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：千辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：
租用单车数量 | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 |
每天一辆车平均成本 | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 |
根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲： 
，方程乙： 
.
(1)为了评价两种模型的拟合效果,完成以下任务:
①完成下表(计算结果精确到0.1)(备注: 
,
称为相应于点
的残差(也叫随机误差));
租用单车数量 | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | |
每天一辆车平均成本 | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 | |
模型甲 | 估计值 | 2.4 | 2.1 | 1.6 | ||
残差 | 0 | -0.1 | 0.1 | |||
模型乙 | 估计值 | 2.3 | 2 | 1.9 | ||
残差 | 0.1 | 0 | 0 | |||
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和
及
,并通过比较
的大小,判断哪个模型拟合效果更好.
(2)这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放.根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.6，0.4；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.4，0.6.问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润=收入-成本）.
