Question

【题目】如图，AB是圆O的直径，PB是圆O的切线，过A点作AE∥OP交圆O于E点，PA交圆O于点F，连接PE．

（1）求证：PE是圆O的切线；
（2）设AO=3，PB=4，求PF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OE，

∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA，

∵AE∥OP，

∴∠OAE=∠BOP，∠OEA=∠EOP，

∴∠BOP=∠EOP，又OB=OE，OP=OP，

∴△BOP≌△EOP，

∴∠OEP=∠OBP，

∵PB是圆O的切线，∴∠OBP=90°，

∴∠OEP=90°，

∴PE是圆O的切线．

（2）解：由（1）知△ABP 是直角三角形，

∵AB=2AO=6，PB=4，

∴PA= =2 ，

∵PB是圆O的切线，

∴PB2=PFPA，

∴PF= = ．

【解析】（1）连接OE，证明△BOP≌△EOP，可得∠OEP=∠OBP，根据PB是圆O的切线，证明PE是圆O的切线；（2）利用切割线定理求PF的长．