Question

14．已知函数f（x）=ax²+2bx+c（x∈R，a≠0）
（Ⅰ）若a=-1，c=0，且y=f（x）在[-1，3]上的最大值为g（b），求g（b）；
（Ⅱ）若a＞0，函数f（x）在[-8，-2]上不单调，且它的图象与x轴相切，求$\frac{f（1）}{b-2a}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a=-1，c=0时的f（x）解析式，配方求出对称轴，讨论区间[-1，3]与对称轴的关系，运用单调性即可得到最大值g（b）；
（Ⅱ）由图象与x轴相切，可得判别式为0，由f（x）在[-8，-2]上不单调，可得对称轴介于-8和-2之间，再对所求式子整理变形，令t=$\frac{b}{a}$∈[2，8]，结合基本不等式，即可得到最小值12．

解答 解：（Ⅰ）a=-1，c=0时，f（x）=-x²+2bx=-（x-b）²+b²，
∴对称轴是直线x=b，
①b＜-1时，[-1，3]为减区间，即有f（x）_max=f（-1）=-1-2b；
②当-1≤b≤3时，即有$f{（x）_{max}}=f（b）={b^2}$；
③当b＞3时，[-1，3]为增区间，即有f（x）_max=f（3）=-9+6b．
综上所述，$g（b）=\left\{\begin{array}{l}-1-2b，（b＜-1）\\{b^2}，（-1≤b≤3）\\-9+6b，（b＞3）\end{array}\right.$； 
（Ⅱ）∵函数f（x）的图象和x轴相切，
△=0即为4b²-4ac=0即为$\frac{c}{a}$=（$\frac{b}{a}$）²，
∵f（x）在[-8，-2]上不单调，
∴对称轴$x=-\frac{2b}{2a}=-\frac{b}{a}∈（-8，-2）$，
∴$\frac{b}{a}∈（2，8）$，
即有$\frac{f（1）}{b-2a}$=$\frac{a+2b+c}{b-2a}$=$\frac{1+\frac{2b}{a}+（\frac{b}{a}）^{2}}{\frac{b}{a}-2}$，
设$\frac{b}{a}=t∈（2，8）⇒t-2∈（0，6）$，
即有$\frac{f（1）}{b-2a}$=$\frac{1+2t+{t}^{2}}{t-2}$=（t-2）+$\frac{9}{t-2}$+6
≥2$\sqrt{（t-2）•\frac{9}{t-2}}$+6=12．
∴$\frac{f（1）}{b-2a}$的最小值为12，此时当且仅当t-2=3∈（0，6）⇒t=5．

点评 本题考查二次函数的最值求法，主要考查函数的单调性的运用，注意分类讨论的思想方法的运用和基本不等式的运用，同时考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题．