Question

6．用数学归纳法证明：（1+1）（1+$\frac{1}{3}$）•…•（1+$\frac{1}{2n-1}$）＞$\sqrt{2n+1}$（n∈N^*）

Answer 1

分析 本题考查的知识点是数学归纳法，由数学归纳法的步骤，我们先判断n=1时成立，然后假设当n=k时成立，只要能证明出当n=k+1时，立即可得到所有的正整数n都成立．

解答 证明：（1）当n=1时，左边=2，右边=$\sqrt{3}$，不等式成立
（2）假设当n=k时，原式成立，即：（1+1）（1+$\frac{1}{3}$）•…•（1+$\frac{1}{2k-1}$）＞$\sqrt{2k+1}$，
当n=k+1时，（1+1）（1+$\frac{1}{3}$）•…•（1+$\frac{1}{2k-1}$）•（1+$\frac{1}{2k+1}$）＞$\sqrt{2k+1}$•（1+$\frac{1}{2k+1}$）=$\frac{2k+2}{\sqrt{2k+1}}$$＞\sqrt{2k+3}$，
即n=k+1时结论成立．
根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数n都成立．

点评 数学归纳法的步骤：①证明n=1时A式成立②然后假设当n=k时，A式成立③证明当n=k+1时，A式也成立④下绪论：A式对所有的正整数n都成立．