题目内容
【题目】已知曲线上动点
与定点
的距离和它到定直线
的距离的比是常数
.若过
的动直线
与曲线
相交于
两点.
(1)判断曲线的名称并写出它的标准方程;
(2)是否存在与点不同的定点
,使得
恒成立?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由。
【答案】(1) 曲线的名称是椭圆,标准方程
(2)见解析
【解析】
(1)设动点的坐标
,根据点
与定点
的距离和它到定直线
的距离的比是常数
,可得所求轨迹方程.(2)由直线
与
轴垂直和直线
与
轴垂直两种特殊情况可得点
的坐标只可能是
,所以只需证明直线
斜率存在且
时均有
即可,然后利用代数法求解即可.
(1)设动点的坐标
,点
到直线
的距离为
,
依题意可知,即
,
所以,
两边平方后化简得.
所以曲线的名称是椭圆,它的标准方程为
.
(2)①当直线与
轴垂直时,由椭圆的对称性可知
,
又因为,
则,
所以点必在
轴上.
②当直线与
轴垂直时,则
,由①可设
,
由,解得
,或
.
则点的坐标只可能是
.
下面只需证明直线斜率存在且
时均有
即可.
由题意设直线的方程为
,
由消去
整理得
,
其中恒成立.
设,
则,
所以.
设点关于
轴对称的点坐标
,
因为直线的斜率
,
同理得直线斜率
,
所以,
因此,
所以三点共线,
故,
所以存在点满足题意.
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【题目】中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中,冬至和夏至的晷影长是实测得到的,其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录,其中寸表示115寸
分(1寸=10分).
节气 | 冬至 | 小寒(大雪) | 大寒(小雪) | 立春(立冬) | 雨水(霜降) |
晷影长(寸) | 135 | ||||
节气 | 惊蛰(寒露) | 春分(秋分) | 清明(白露) | 谷雨(处暑) | 立夏(立秋) |
晷影长(寸) | 75.5 | ||||
节气 | 小满(大暑) | 芒种(小暑) | 夏至 | ||
晷影长(寸) | 16.0 |
已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸,春分晷影长为72.4寸,那么《易经》中所记录的夏至的晷影长应为( )
A. 14.8寸B. 15.8寸C. 16.0寸D. 18.4寸