Question

已知f（x）=2^x-1的反函数为f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）．
（1）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值范围D．
（2）设函数，当x∈D时，求函数H（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出反函数的解析式及定义域，把解析式代入不等式，利用对数函数的单调性和定义域解此不等式；
（2）先利用对数的运算性质化简H（x）的解析式，再结合对数函数的图象与性质，从而解决问题．
解答：解：由y=2^x-1得2^x=y+1，∴x=log₂（y+1）
∴f^-1（x）=log₂（x+1）（x＞-1）
（1）由f^-1（x）≤g（x）得log₂（x+1）≤log₄（3x+1）
∴log₄（x+1）²≤log₄（3x+1）
∴
∴D=[0，1]
（2）
∵0≤x≤1∴1≤x+1≤2
∴
∴
∴
∴
点评：本题考查反函数的求法和函数的值域，属于对数函数的综合题，要会求一些简单函数的反函数，掌握有关对数函数的值域的求法，属中档题．