Question

定义函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得

f(x1)f(x2)

=C，则称函数f（x）在D上的几何平均数为C．已知f（x）=2^x，x∈[1，2]，则函数f（x）=2^x在[1，2]上的几何平均数为（　　）

• A、

  2

• B、2
• C、2

  2

• D、4

Answer 1

分析：根据已知中对于函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得

f(x1)f(x2)

=C，则称函数f（x）在D上的几何平均数为C．我们易得若函数在区间D上单调递增，则C应该等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，由f（x）=2^x，D=[1，2]，代入即可得到答案．

解答：解：根据已知中关于函数f（x）在D上的几何平均数为C的定义，
结合f（x）=2^x在区间[1，2]单调递增
则x₁=1时，存在唯一的x₂=2与之对应
故C=

21•22

=2

2

故选C．

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中根据函数在区间上的几何平均数的定义，判断出C等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，是解答本题的关键．