题目内容
【题目】如图,在矩形中,将
沿对角线
折起,使点
到达点
的位置,且平面
平面
.
(1)求证:;
(2)若直线与平面
所成角的正弦值为
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)由四边形是矩形,得
,推导出
平面
,可得出
,再由
,可得出
平面
,由此能证明
;
(2)过作
于点
,则
平面
,以
所在直线为
轴,过
作
轴平行于
,
为
轴,建立空间直角坐标系
,由
平面
,得出直线
与平面
所成角为
,设
,可得
,然后利用空间向量法能求出二面角
的余弦值.
(1)由四边形是矩形,得
,
平面
平面
,平面
平面
,
平面
,
平面
,
平面
,则
,
又,
,
平面
,
平面
,
;
(2)过作
,垂足为点
,
平面
平面
,平面
平面
,
平面
,
平面
,
以点为坐标原点,以
所在直线为
轴,过
作
轴平行于
,以
所在直线为
轴,建立如下图所示的空间直角坐标系
,
由(1)知平面
,
是直线
与平面
所成角,即
,
在中,
,
设,则
,
,
平面
,可取平面
的一个法向量
,
由(1)知,,在
中,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
设平面的法向量
,
由,取
,则
,
,
所以,平面的一个法向量为
,
.
由图形可知,二面角的平面角为锐角,它的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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