题目内容
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：
（a＞b＞0）的离心率为
，一条准线方程为x=4．（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M，设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值．
【答案】分析：（1）由题意可得得
，解出即可；
（2）设P（x，y）（y≠0），即可得出直线AP的方程，令x=2，即可得到点M的坐标，利用斜率计算公式即可得出k1，k2，再利用点P在椭圆上即可证明．
解答：解：（1）由题意得
，解得
，
∴椭圆E的标准方程为
．
（2）设P（x，y）（y≠0），
则直线AP的方程为：y=
（x+2）
令x=2得M（2，
）
∴k1=
，
∵k2=
，
∴k1k2=
，
∵P（x，y）在椭圆上，∴
=1
∴k1k2═-
为定值．
点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线的斜率公式等是解题的关键．
，解出即可；（2）设P（x，y）（y≠0），即可得出直线AP的方程，令x=2，即可得到点M的坐标，利用斜率计算公式即可得出k1，k2，再利用点P在椭圆上即可证明．
解答：解：（1）由题意得
，解得，∴椭圆E的标准方程为．（2）设P（x，y）（y≠0），
则直线AP的方程为：y=
（x+2）令x=2得M（2，
）∴k1=
，∵k2=
，∴k1k2=
，∵P（x，y）在椭圆上，∴
=1∴k1k2═-
为定值．点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线的斜率公式等是解题的关键．
练习册系列答案
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