题目内容
已知椭圆
的离心率为
，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
．
(Ⅰ）求椭圆
的方程；
(Ⅱ）已知动直线
与椭圆相交于
、
两点． ①若线段
中点的横坐标为
，求斜率
的值；②若点
，求证：
为定值．
【答案】
(Ⅰ)
；(Ⅱ)①
；②
.
【解析】
试题分析：(Ⅰ)根据已知条件可设椭圆方程为：
，则有
，
，
，求解即可得到
和
的值，将对应的解代入椭圆方程即可；(Ⅱ)①将直线方程
代入椭圆方程求得，
，求得
、
两点的横坐标之和为
，由已知条件“
中点的横坐标为
”，得到
，从而解得
的值；
②根据①的、两点的坐标求得
③，结合、两点坐标满足直线方程，将③式化简整理得
，再由①中的根与系数的关系：，
，代入化简即可.
试题解析：(Ⅰ)因为满足，，，
解得
，
，
则椭圆方程为：.
3分
(Ⅱ)①将代入中得，，
，
设
，
，则，
因为中点的横坐标为，所以，
解得.
6分
②由①知，，，
所以
.
12分
考点：1.椭圆的标准方程；2.椭圆的性质；3.方程的根与系数的关系；4.中点坐标公式；5.平面向量的数量积
练习册系列答案
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已知椭圆的离心率为e，两焦点分别为F1、F2，抛物线C以F1为顶点、F2为焦点，点P为抛物线和椭圆的一个交点，若e|PF2|=|PF1|，则e的值为（ ）
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
| D、以上均不对 |
已知椭圆的离心率为
，焦点是（-3，0），（3，0），则椭圆方程为（ ）
| 1 |
| 2 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
如图，在由圆O：x2+y2=1和椭圆C：
如图，A，B是椭圆C：