Question

【题目】设函数， .

（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；

（2）设，点是曲线与的一个交点，且这两曲线在点处的切线互相垂直，证明：存在唯一的实数满足题意，且.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)见解析。;

【解析】【试题分析】（1）求导后令导数大于或等于零，然后分离参数，利用恒成立可求得的取值范围.（2）将两条切线相互垂直转化为在点的导数乘积为，结合切点坐标可求得切点横坐标所满足的一个等式，通过分类讨论可得存在唯一实数满足题意.

【试题解析】

（1）解：由题意知，所以，

由题意， ，即对恒成立，

又当时， ，所以.

（2）证明：因为， ,

所以，即.①

又点是曲线与的一个交点，所以.②

由①②消去，得.

（ⅰ）当时，因为.所以，且，此与②式矛盾.

所以在上没有适合题意.

（ⅱ）当时，设， .

则，即函数在上单调递增，

所以函数在上至多有一个零点.

因为， ，

且的图象在上不间断，所以函数在有唯一零点.

即只有唯一的，使得成立，且.

综上所述，存在唯一的,且.