题目内容
【题目】设
，函数
．
若
无零点，求实数k的取值范围；
若有两个相异零点
，求证：
．
【答案】
1
；2
见解析.
【解析】【试题分析】(1)求出函数的定义域后对函数求导,对
分类讨论函数的单调区间,结合函数没有零点,可求得的取值范围.(2)设出两个零点,代入函数表达式,将要证明的不等式转化为证明
，构造函数
,利用导数求得
的最小值大于零,由此证得原不等式成立.
【试题解析】
解：函数的定义域为
，
若
时，则
是区间
上的增函数，
，
，函数
在区间有唯一零点；
若
有唯一零点
；
若
，令
，得
，
在区间
上，
，函数是增函数；
在区间
上，
，函数是减函数；
故在区间上，的极大值为
，
由于无零点，须使
，解得
，
故所求实数k的取值范围是
；
证明：设的两个相异零点为
，设
，
，
，
故欲证
，只需证
，
即
，即证
，
设
，上式转化为，
设，
，
在
上单调递增，
，
．
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