题目内容

【题目】如图,四棱锥中,底面为棱的中点.

(1)证明:平面

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)详见解析;(2).

【解析】试题分析:(1)连结,取的中点,连结,由已知条件推导出,由此能证明平面;(2)以为原点,轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角的余弦值.

试题解析:(1)连接BD,取DC的中点G,连接BG

由此知DGGCBG=1,即△DBC为直角三角形,

BCBD.PD⊥平面ABCD,∴BCPD,又PDBDD

BC⊥平面BDP,∴BCDM.

PDBD=,PDBDMPB的中点,

DMPB,∵PBBCB

DM⊥平面PBC。

D为坐标原点,射线DADCDP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系Dxyz

A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,),

从而,设是平面ADM的法向量,

,即2∴可取

同理,设是平面CDM的法向量,则,即2

∴可取,∴

显然二面角ADMC的大小为钝角,∴所以二面角ADMC的余弦值为.

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