题目内容
【题目】已知函数
，
.
（1）函数
，
，求函数
的最小值；
（2）对任意
，都有
成立，求
的范围.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：
（1）由题意知
.由
，得
.分三种情形讨论即可求解.
（2）设
，则对任意
，都有
成立.由
，对
分三种情形讨论，需要再次对导函数求导，难度较大.
试题解析：（I）.
，令
得.
当
即
时，在
上
，
递增，
的最小值为
.
当
即
时，在
上
，为减函数，在在
上，为增函数.
∴ 的最小值为
.
当
即
时，在上，递减，的最小值为
.
综上所述，当时的最小值为
，当时的最小值为
,当时，最小值为
.
（II）设，
.
①当
时，在上
，
在递增，的最小值为
，不可能有
.
②当
时, 令
，解得：
，此时
∴
.∴
在
上递减.∵的最大值为
，∴递减.∴的最大值为，
即成立.
当
时，此时
当
时，
递增，当
时，
递减.
∴
，又由于
,
∴在
上，递增，
又∵,所以在上
，显然不合题意.
综上所述：.
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