Question

【题目】用部分自然数构造如图的数表：用表示第行第个数，使得，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，设第行中的各数之和为.

已知，求的值；

令，证明：是等比数列，并求出的通项公式；

数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出的关系，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；

（3）数列中不存在不同的三项恰好成等差数列.

【解析】

（1）利用数表，可求b1，b2，b3，b4，并且bn+1=a（n+1）1+a（n+1）2+…+a（n+1）（n+1）=2（an1+an2+…+ann）+2=2bn+2．
（2）由bn+1=2bn+2，可得bn+1+2=2（bn+2），从而{bn+2}是以b1+2=3为首项，2为公比的等比数列，即可求出{bn}的通项公式；
（3）设p＞q＞r，{bn}是递增数列，2bq=bp+br，由此能导出数列{bn}中不存在不同的三项bp，bq，br恰好成等差数列．

（1）.

（2）证明：（常数）

又

是以为首项，为公比的等比数列. 故

.

（3）不妨设数列中存在不同的三项恰好成等差数列.

即

化简得：

显然上式左边为偶数，右边为奇数，方程不成立.

故数列中不存在不同的三项恰好成等差数列.