题目内容
在平面直角坐标系xoy中,已知圆心在直线y=x+4上,半径为2
的圆C经过坐标原点O.
(1)求圆C的方程;
(2)是否存在直线l:x-y-m=0与圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点恰在抛物线x2=4y上,若l存在,请求出m的值,若l不存在,请说明理由.
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(1)求圆C的方程;
(2)是否存在直线l:x-y-m=0与圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点恰在抛物线x2=4y上,若l存在,请求出m的值,若l不存在,请说明理由.
分析:(1)由题意,设圆心坐标为(a,a+4),利用半径为2
的圆C经过坐标原点O,可得a2+(a+4)2=8,从而可得圆心坐标,进而可求圆C的方程;
(2)将直线l:x-y-m=0与圆C联立,消去y可得:2x2-2mx+m2+4m=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=m
,y1+y2=x1+x2+2m=3m,利用线段AB的中点恰在抛物线x2=4y上,可求得m=0或m=24,再验证△=4m2-8(m2+4m),即可知是否存在.
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(2)将直线l:x-y-m=0与圆C联立,消去y可得:2x2-2mx+m2+4m=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=m
,y1+y2=x1+x2+2m=3m,利用线段AB的中点恰在抛物线x2=4y上,可求得m=0或m=24,再验证△=4m2-8(m2+4m),即可知是否存在.
解答:解:(1)由题意,设圆心坐标为(a,a+4)
∵半径为2
的圆C经过坐标原点O
∴a2+(a+4)2=8
∴a2+4a+4=0
∴a=-2
∴圆心坐标为(-2,2)
∴圆C的方程:(x+2)2+(y-2)2=8
(2)将直线l:x-y-m=0与圆C联立,消去y可得:2x2-2mx+m2+4m=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=m
∴y1+y2=x1+x2+2m=3m
∵线段AB的中点恰在抛物线x2=4y上
∴(
,
m)满足方程x2=4y
∴(
)2=4×
∴m=0或m=24
当m=0时,△=4m2-8(m2+4m)=0,不符合题意.
当m=24时,△=4m2-8(m2+4m)<0
所以不存在直线l:x-y-m=0与圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点恰在抛物线x2=4y上
∵半径为2
2 |
∴a2+(a+4)2=8
∴a2+4a+4=0
∴a=-2
∴圆心坐标为(-2,2)
∴圆C的方程:(x+2)2+(y-2)2=8
(2)将直线l:x-y-m=0与圆C联立,消去y可得:2x2-2mx+m2+4m=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=m
∴y1+y2=x1+x2+2m=3m
∵线段AB的中点恰在抛物线x2=4y上
∴(
m |
2 |
3 |
2 |
∴(
m |
2 |
3m |
2 |
∴m=0或m=24
当m=0时,△=4m2-8(m2+4m)=0,不符合题意.
当m=24时,△=4m2-8(m2+4m)<0
所以不存在直线l:x-y-m=0与圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点恰在抛物线x2=4y上
点评:本题考查的重点是圆的方程,考查直线与圆相交,解题时,将直线与圆联立是关键,判别式是否验证是易错点.

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