Question

18．设全集U=R，函数f（x）=$\sqrt{x-a}$+lg（a+3-x）的定义域为集合A，集合$B=\left\{{x|\frac{1}{4}≤{2^x}≤32}\right\}$．
（1）若a=-3，求A∩B；
（2）若A⊆∁_UB，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）的解析式可以求出f（x）的定义域A=[a，a+3），根据指数函数的单调性容易得出B=[-2，5]，从而a=-3时可以得出集合A，然后进行交集的运算即可；
（2）进行补集的运算得到∁_UB=（-∞，-2]∪（5，+∞），根据条件A⊆∁_UB便可得到a＞5，或a+3≤-2，这样便得出实数a的取值范围．

解答 解：（1）要使函数f（x）有意义，则需$\left\{\begin{array}{l}x-a≥0\\ a+3-x＞0\end{array}\right.$，则a≤x＜a+3；
∴当a=-3时，A=[-3，0）；
由$\frac{1}{4}≤{2^x}≤32$得-2≤x≤5；
∴B=[-2，5]；
∴A∩B=[-2，0）
（2）∁_UB=（-∞，-2）∪（5，+∞）；
∵A⊆∁_UB；
∴a＞5，或a+3≤-2；
∴实数a的取值范围为（-∞，-5]∪（5，+∞）．

点评 考查函数定义域的概念及求法，对数的真数大于0，指数函数的单调性，以及交集、补集的运算，子集的概念．