Question

6．函数f（x）的定义域为D，对D内的任意x₁、x₂，都有f（x₁）≤f（x₂），则称f（x）为非减函数．已知f（x）是定义域为[0，1]的非减函数，满足①f（0）=0，②对任意x∈[0，1]，有f（1-x）+f（x）=1，③对于$x∈[0，\frac{1}{3}]$，$f（x）≥\frac{3}{2}x$恒成立，则$f（\frac{3}{7}）+f（\frac{5}{9}）$的值为1．

Answer 1

分析 由已知中函数f（x）满足的三个条件：①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1x∈[0，1]； ③$x∈[0，\frac{1}{3}]$，$f（x）≥\frac{3}{2}x$恒成立．我们易得f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，结合$x∈[0，\frac{1}{3}]$，$f（x）≥\frac{3}{2}x$成立，可得f（$\frac{1}{3}$）≥$\frac{1}{2}$，又由f（x）为定义在[0，1]上的非减函数，可得当x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]时，f（x）=$\frac{1}{2}$，进而得到答案．

解答 解：∵函数f（x）满足：f（1-x）+f（x）=1，x∈[0，1]，则f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
且$x∈[0，\frac{1}{3}]$，$f（x）≥\frac{3}{2}x$，恒成立，则f（$\frac{1}{3}$）≥$\frac{1}{2}$，
又∵函数f（x）为定义在[0，1]上的非减函数，
∴当x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]时，f（x）=$\frac{1}{2}$，恒成立，
故f（$\frac{3}{7}$）=$\frac{1}{2}$，f（$\frac{4}{9}$）=$\frac{1}{2}$，则f（$\frac{5}{9}$）=$\frac{1}{2}$，
则$f（\frac{3}{7}）+f（\frac{5}{9}）$=1
故答案为：1．

点评 本题考查的知识点是抽象函数及其应用，其中根据已知中，函数满足的条件，得到当x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]时，f（x）=$\frac{1}{2}$恒成立，是解答本题的关键．本题主要考查了抽象函数及其应用，以及对新定义的理解，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题．