题目内容

【题目】已知函数f(x)=x﹣alnx(a∈R)
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间和极值.

【答案】
(1)解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1﹣

当a=2时,f(x)=x﹣2lnx,f′(x)=1﹣ (x>0),

因而f(1)=1,f′(1)=﹣1,

所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y﹣1=﹣(x﹣1),

即x+y﹣2=0


(2)解:由f′(x)=1﹣ = ,x>0知:

①当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;

②当a>0时,由f′(x)=0,解得x=a.

又当x∈(0,a)时,f′(x)<0,当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0.

从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a﹣alna,无极大值.

综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;

当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a﹣alna,无极大值


【解析】(1)把a=2代入原函数解析式中,求出函数在x=1时的导数值,直接利用直线方程的点斜式写直线方程;(2)求出函数的导函数,由导函数可知,当a≤0时,f′(x)>0,函数在定义域(0,+∝)上单调递增,函数无极值,当a>0时,求出导函数的零点,由导函数的零点对定义域分段,利用原函数的单调性得到函数的极值.
【考点精析】利用函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案,需要熟知求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.

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