题目内容
已知函数f（x）=cos
+sin
（x∈R），给出以下命题：①函数f（x）的最大值是2；②周期是
；③函数f（x）的图象上相邻的两条对称轴之间的距离是
； ④对任意x∈R，均有f（5π-x）=f（x）成立；⑤点（
，0）是函数f（x）图象的一个对称中心．其中正确命题的序号是
| 2x |
| 5 |
| 2x |
| 5 |
| 5π |
| 2 |
| 5π |
| 2 |
| 15π |
| 8 |
③⑤
③⑤
．分析：利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）=
sin（
+
），由此确定函数的对称性、周期性、最值，从而得到答案．
| 2 |
| 2x |
| 5 |
| π |
| 4 |
解答：解：∵函数f（x）=cos
+sin
=
sin（
+
） （x∈R），故其最大值等于
，周期等于
=5π，两条相邻的对称轴之间的距离是
，
故①②不正确，③正确．
令
+
=kπ+
，k∈z，可得 x=
+
，k∈z，故函数f（x）的对称轴为 x=
+
，k∈z，故函数不关于x=
对称，故④不正确．
当x=
时，函数f（x）=
sin（
×
+
）=sinπ=0，故点（
，0）是函数f（x）图象的一个对称中心，故⑤正确．
综上，只有③⑤正确，
故答案为：③⑤．
| 2x |
| 5 |
| 2x |
| 5 |
| 2 |
| 2x |
| 5 |
| π |
| 4 |
| 2 |
| 2π | ||
|
| 5π |
| 2 |
故①②不正确，③正确．
令
| 2x |
| 5 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 5kπ |
| 2 |
| 5π |
| 8 |
| 5kπ |
| 2 |
| 5π |
| 8 |
| 5π |
| 2 |
当x=
| 15π |
| 8 |
| 2 |
| 2 |
| 5 |
| 15π |
| 8 |
| π |
| 4 |
| 15π |
| 8 |
综上，只有③⑤正确，
故答案为：③⑤．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin（ωx+∅）的对称性、周期性、最值，利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）=
sin（
+
），
是解题的突破口，属于中档题．
| 2 |
| 2x |
| 5 |
| π |
| 4 |
是解题的突破口，属于中档题．
练习册系列答案
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