Question

1．函数f（x）=（x²+ax+1 ）e^x．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间（2，3）上递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=l，求证：对任意x₁，x₂∈[0，1]，|f（x₁）-f （x₂）|＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知f′（x）=x²+（a+2）x+a+1≥0对x∈（2，3）恒成立，计算即可；
（Ⅱ）通过曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=1，可得a=-1，从而函数f（x）在[0，1]上递增，故f_max（x）=f（1）=e，f_min（x）=f（0）=1，即得结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意知f′（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+1]，
因为f（x）在（2，3）上递增，所以f′（x）≥0对x∈（2，3）恒成立，
即：x²+（a+2）x+a+1≥0对x∈（2，3）恒成立，
所以f′（2）≥0，所以a≥-3；
（Ⅱ）因为曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=1，
所以f′（0）=0，所以a=-1，
从而f（x）=（x²-x+1）e^x，f′（x）=e^x（x²+x），
显然函数f（x）在[0，1]上递增，
故f（x）在[0，1]在最大值为f（1）=e，最小值为f（0）=1，
从而对任意x₁，x₂∈[0，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1＜2．

点评 本题考查函数的单调性，在闭区间上的最值，注意解题方法的积累，属于中档题．