题目内容
16．若直线ax+by-3=0与圆x2+y2=3没有公共点，设点P的坐标（a，b），那过点P的一条直线与椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1的公共点的个数为（ ）| A． | 0 | B． | 1 | C． | 2 | D． | 1或2 |
分析 根据直线ax+by-3=0与圆x2+y2=3没有公共点即为将方程代入圆中消去x得到方程无解，利用根的判别式小于零求出a与b的关系式，得到a与b的绝对值的范围，再根据椭圆的长半轴长和短半轴长，比较可得公共点的个数．
解答 解：将直线ax+by-3=0变形代入圆方程x2+y2=3，
消去x，得（a2+b2）y2-6by+9-3a2=0．
令△＜0得，a2+b2＜3．
又a、b不同时为零，∴0＜a2+b2＜3．
由0＜a2+b2＜3，可知|a|＜$\sqrt{3}$，|b|＜$\sqrt{3}$，
∵椭圆方程知长半轴a=2，短半轴b=$\sqrt{3}$，
∴可知P（a，b）在椭圆内部，
∴过点P的一条直线与椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1的公共点有2个．
故选：C．
点评 本题考查学生综合运用直线和圆方程的能力．以及直线与圆锥曲线的综合运用能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
| A． | 3 | B． | $\frac{10}{3}$ | C． | $\frac{11}{3}$ | D． | $\frac{8}{3}$ |
已知圆O：x2+y2=1和双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）．若对双曲线C上任意一点A（点A在圆O外），均存在与圆O外切且顶点都在双曲线C上的菱形ABCD，则$\frac{1}{a^2}$-$\frac{1}{b^2}$=1．