Question

【题目】设函数f（x）=lnx﹣ax2+ax，a为正实数．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求证：f（ ）≤0；
（3）若函数f（x）有且只有1个零点，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=2时，f（x）=lnx﹣2x2+2x，f′（x）= ﹣2x+1，

∴f′（1）=0，

∵f（1）=0，

∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=0

（2）证明：f（ ）=﹣lna﹣ +1（a＞0），

令g（x）=﹣lnx﹣ +1（x＞0），则g′（x）= ，

∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，函数单调递增；x＞1时，g′（x）＜0，函数单调递减，

∴x=1时，函数取得极大值，即最大值，

∴g（x）≤g（1）=0，

∴f（ ）≤0

（3）解：由（1）可知，a=2时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=0，

∴若函数f（x）有且只有1个零点，则a=2

【解析】（1）求导数，确定切线的斜率，切点坐标，可得切线方程；（2）构造函数，确定函数的单调性与最值，即可证明结论；（3）由（1）可知，a=2时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=0，即可得出结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．